Ein kleines Problem für zwischendurch (Januar 2024)

2024 = 2025 - 1 = 45² - 1² = (45 - 1) x (45 + 1) = 44 x 46

= (2² x 11) x (2 x 23) = 2³ x 11 x 23

--------------------------------------------------------------

2024 enthält 3 ungerade Teiler, nämlich 11, 23 und 253 und kann daher (gemäß dem Satz von SYLVESTER, vgl. Mathematik ist schön, Kap. 2.4) auf 3 Arten als Summe von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen dargestellt werden:

  • 11 Summanden:

179+180+181+182+183+184+185+186+187+188+189

  • 23 Summanden:

77+78+...+86+87+88+89+90+...+97+98+99

  • 16 Summanden:

119+120+121+...+132+133+134

--------------------------------------------------------------

2024 lässt sich als Summe von mindestens 5 Kubikzahlen darstellen:

2024 = 2³+2³+4³+6³+12³

= 2³+2³+2³+10³+10³ = 3³+3³+8³+9³+9³

--------------------------------------------------------------

  • Welche Darstellungen der Zahl 2024 als Summe von
    Quadratzahlen gibt es?

--------------------------------------------------------------

Jede natürliche Zahl lässt sich als Summe von höchstens drei Dreieckzahlen darstellen (wie der 19-jährige CARL FRIEDRICH GAUSS im Jahr 1796 bewies).

  • Welche Darstellung(en) hat die Zahl 2024 als Summe von Dreieckszahlen?

Ein kleines Problem für zwischendurch (Dezember 2023)

 

Halbiert man ein Quadrat mithilfe einer Diagonalen und zeichnet in die beiden Hälften jeweils einen Inkreis ein, dann ergibt sich, dass der Flächeninhalt dieser beiden Inkreise zusammen größer ist als die restliche Quadratfläche.

 

Man bestimme das Seitenverhältnis der Seiten eines Rechtecks, für das gilt, dass die beiden eingezeichneten Inkreise zusammen genauso groß sind wie die restliche Fläche des Rechtecks.

Ein kleines Problem für zwischendurch (November 2023)

Ein kleines Problem für zwischendurch (Oktober 2023)

 

Wie sind die Radien der Kreisbögen um die Eckpunkte A, B, C zu wählen, dass sich jeweils zwei Bögen auf den Seiten berühren?

Ein kleines Problem für zwischendurch (September 2023)

 

Satz von Monge

Zeichnet man die Außentangenten an drei unterschiedlich große, sich nicht überdeckende Kreise, dann liegen deren Schnittpunkte auf einer Geraden.

 

  • Was gilt im Falle, dass zwei Kreise gleich groß sind?

Ein kleines Problem für zwischendurch (Juni 2023)

Heinrich Hemme stellte kürzlich in einem seiner wunderbaren Rätsel eine besondere Eigenschaft von Seiten und Diagonalen im regelmäßigen 9-Eck vor: Die Längen einer Seite und einer Diagonale sind zusammen genauso groß wie die Länge einer anderen Diagonale, vgl. https://www.spektrum.de/raetsel/wie-laesst-sich-das-verhaeltnis-bestimmen/2125614

Ähnliche Eigenschaften gelten auch für andere regelmäßige Vielecke, beispielsweise für das regelmäßige 12-Eck, 15-Eck, 18-Eck, ...

Ein kleines Problem für zwischendurch (Mai 2023)

Ungerade Zahlen und Dreieckszahlen

Die Summe von zwei aufeinanderfolgenden Dreieckszahlen ergibt stets eine Quadratzahl.

In der Abbildung sind das

(1 + 2 + 3 + 4) + (3 + 2 + 1) = 10 + 6 = 16 rote Steine

und

(1 + 2 + 3) + (2 + 1) = 6 + 3 = 9 grüne Steine.

 

Die Summe ersten n ungeraden Zahlen ist eine Quadratzahl.

In der Abbildung sind das

1 + 3 + 5 + 7 = 16 rote Steine und

5 + 3 + 1 = 9 grüne Steine.

Ein kleines Problem für zwischendurch (April 2023)

Fallen Ihnen noch weitere (prinzipiell andere) Kreisvierteilungen ein?

Ein kleines Problem für zwischendurch (März 2023)

Eine Vorlage zum Ausmalen ... gleich große Flächen mit einer Farbe

Ein kleines Problem für zwischendurch (Februar 2023)

 

Wie kann man herausfinden, dass 567 die letzten drei Ziffern von 2023^2023 sind?

2023

= 43 + 44 + 45 + ... + 75 + 76

= 111 + 112 + 113 + ... + 126 + 127

= 138 + 139 + 140 + ... + 150 + 151

= 286 + 287 + 288 + ... + 291 + 292

= 1011 + 1012

 

Gibt es auch Summendarstellungen ... mit lauter aufeinanderfolgenden ungeraden Summanden?

... mit anderen aufeinanderfolgenden Gliedern von arithmetischen Folgen?

 

Ein kleines Problem für zwischendurch (Dezember 2022)

Gesucht werden alle Möglichkeiten eines Weges in einem 4x3-Rechteck-Raster. In der folgenden Abbildung sind die 19 Möglichkeiten dargestellt - auf die Darstellung der gespiegelten oder gedrehten Wege wurde verzichtet.

Die Lösung des Problems (dank back-tracking) ergab:

  • 12 Formen sind nicht symmetrisch, deshalb gibt es durch Drehung und Spiegelung 12 x 4 = 48 Varianten,
  • 4 Formen sind achsensymmetrisch, daher wegen der Spiegelung nur 4 x 2 = 8 Varianten,
  • 3 Formen sind punktsymmetrisch, durch Spiegelung erhält man 3 x 2 = 6 Formen.

Insgesamt sind dies 48 + 8 + 6 = 62 verschiedene Wege in einem 4x3-Raster, nimmt man die umgekehrte Richtung hinzu, sind es 124 orientierte Wege.

 

Herzlichen Dank an Dr. Ulrich Kilian für die Zusendung der Lösung des Problems!

z. B. so ...

Ein kleines Problem für zwischendurch (November 2022)

Gemäß dem Kreiswinkelsatz gilt:

Die Peripheriewinkel über einer Sehne sind halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel.

Diesen Satz kann man nutzen um die trigonometrischen Doppelwinkelsätze herzuleiten, also sin(2a) = 2sin(a)cos(a) usw.

Wie ergeben sich diese Sätze aus dem Kreiswinkelsatz?

Ein kleines Problem für zwischendurch (Oktober 2022)

Ein Geodreieck kann man auch dazu benutzen, Winkel zu messen oder abzutragen. Die Markierungen sind unterschiedlich weit vom Mittelpunkt der Grundseite entfernt. Wie weit eigentlich?

 

Ein kleines Problem für zwischendurch (August 2022)

Gemäß dem Satz von Varignon bilden die Verbindungslinien benachbarter Seiten eines beliebigen Vierecks ein Parallelogramm. Welche Sonderfälle gibt es?

 

Ein kleines Problem für zwischendurch (Juli 2022)

Wodurch sind die abgebildeten Figuren gekennzeichnet? Wie groß sind die Flächenanteile?

 

Ein kleines Problem für zwischendurch (Juni 2022)

Die Fläche eines gleichseitiges Dreiecks wird teilweise durch die Fläche des Inkreises bedeckt. Wie groß ist dieser Anteil?

Wie verändert sich der Anteil, wenn man statt eines Kreises mehrere sich berührende Kreise einzeichnet, vgl. die folgenden Abbildungen? Welchen Prozentsatz kann dieser Anteil nicht übertreffen?

 

Ein kleines Problem für zwischendurch (Mai 2022)

Haben Sie sich schon mit der Herzfigur beschäftigt, die Heinrich Hemme in einem seiner täglichen Probleme bei Spektrum online vorgestellt hat? (https://www.spektrum.de/raetsel/welchen-radius-hat-der-kreis/2002909)

Das Problem mit der passenden Herzfigur im Kreis bzw. einem Rechteck kann auf andere Figuren ausgedehnt werden.

Welche Maße sind für die folgenden Figuren notwendig? Welche Flächenanteile azur/gold liegen dabei vor?

 

Ein kleines Problem für zwischendurch (April 2022)

 

Stifels Problem der "circulären Bezifferung" von Quadraten

Der Mathematiker Michael Stifel (1487-1567) beschäftigte sich in seiner Arithmetica integra (1544) u. a. mit folgendem Problem:

 

Betrachtet werden quadratische Figuren mit Rechenkästchen. Man beginnt in irgendeinem Randfeld mit der Nummer 1 und geht eine gewisse Anzahl von Randfeldern weiter, um die nächste Nummer einzutragen. Am Ende landet man wieder auf dem Feld mit der Nummer 1 und jedes Feld hat eine Nummer.

Gesucht sind alle geeigneten Anzahlen von Randfeldern, die man abzählen muss, also die Schrittweiten, um zum nächsten Feld der Nummerierung zu gelangen. (Der triviale Fall der Schrittweite 1 wird nicht beachtet.)

 

Beispiel:

Für das 4x4-Quadrat gibt es zwei geeignete Schrittweiten.